% -- translate-file=il2-pl --
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Contents: Math typesetting with LaTeX (LShort2e Introduction)
% File: math.tex (Polish translation)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\chapter{Wyrażenia matematyczne\label{chp:math}}

\begin{intro}
  Nareszcie! W~tym rozdziale poznasz najlepszą stronę \TeX{}a, czyli
  skład wzorów matematycznych. Ostrzegamy jednak, że przedstawimy tu
  jedynie absolutne podstawy. Chociaż wystarczają one większości użytkowników,
  to nie załamuj rąk, jeśli nie~poradzisz sobie z~jakimś
  skomplikowanym wzorem, lecz zapoznaj się z~możliwościami
  \AmS-\LaTeX{}a lub innego wyspecjalizowanego
  pakietu\footnote{Pod egidą Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego
    (\emph{American Mathematical Society}) powstało istotne
    rozszerzenie \LaTeX{}a. Wiele przykładów w~tym rozdziale korzysta
    z~tego rozszerzenia, które jest dołączane do wszystkich
    współczesnych dystrybucji \TeX{}a. Jeśli w~twojej go nie ma, to
    znajdziesz je pod adresem
    \CTAN{macros/latex/packages/amslatex}.}.
\end{intro}

\section{Wstęp}

Do składu wyrażeń matematycznych  mamy w~{\LaTeX}u specjalny \emph{tryb
matematyczny\index{tryb matematyczny}}. 
Wzory wpisuje się między znakami \texttt{\$} i~\texttt{\$}, między
parami znaków \ci{(}~i~\ci{)}\index{$@\texttt{\$}} %$
albo między \verb|\begin{|\ei{math}\verb|}| oraz \verb|\end{math}|.
%
\begin{example}
$a$ do kwadratu plus~$b$
do kwadratu równa się~$c$ 
do kwadratu. Albo, stosując
bardziej matematyczne
podejście: $c^{2}=a^{2}+b^{2}$.
\end{example}
%
\begin{example}
{\TeX} należy wymawiać jako
$\tau\epsilon\chi$.\\[6pt]
100~m$^{3}$ wody. \\[6pt]
To płynie z~mojego~$\heartsuit$.
\end{example}
%
\noindent
Składając większe wzory, powinniśmy je eksponować, to znaczy wstawiać
między akapitami, w~osobnym wierszu. Takie wzory umieszcza się albo
między parami znaków \ci{[}~i~\ci{]}\index{$@\texttt{\$}}%$
% tu trzeba pilnować, aby przecinek trafił do składu (RK)
, albo wewnątrz otoczenia \ei{displaymath}. Ta ostatnia konstrukcja
dotyczy tworzenia wzorów bez numeracji:
%
\begingroup
%% w tym wzorku coś jest nie tak na wydruku
%% błąd latex-a?
\begin{example}
$a$ do kwadratu plus~$b$
do kwadratu równa się~$c$ 
do kwadratu. Albo,
bardziej matematycznie:
\begin{displaymath}
c^{2}=a^{2}+b^{2}
\end{displaymath}
Pierwszy wiersz po wzorze.
\end{example}
\endgroup
%
\noindent
Do uzyskiwania wzorów numerowanych stosujemy otoczenie
\ei{equation}. Instrukcji \ci{label} możemy wówczas
użyć do zapamiętania numeru wzoru, a~polecenia \ci{ref} 
albo pochodzącego z~pakietu \pai{amsmath} \ci{eqref} -- do przywołania
w~dokumencie tego numeru:
%
\begin{example}
\begin{equation}
\epsilon > 0 \label{eq:eps}
\end{equation}
Ze wzoru (\ref{eq:eps}) 
otrzymujemy \ldots
\end{example}
%
\noindent
Zwróćmy uwagę na różnicę w~wyglądzie wzorów
złożonych wewnątrz akapitu i~w~wersji eksponowanej:
%
\begin{example}
$\lim_{n \to \infty}
\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}
= \frac{\pi^2}{6}$
\end{example}
%
\begin{example}
\begin{displaymath}
\lim_{n \to \infty}
\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}
= \frac{\pi^2}{6}
\end{displaymath}
\end{example}
%
\noindent
Między \emph{trybem matematycznym} \LaTeX{}a a~\emph{trybem tekstowym}
istnieją znaczne różnice. Na przykład, w~\emph{trybie matematycznym}:
\begin{enumerate}
\item {\LaTeX} ignoruje prawie wszystkie odstępy oraz znaki końca linii;
  wszystkie odstępy we wzorach wynikają bądź z~kontekstu, bądź z~użycia
  specjalnych poleceń, takich jak: \ci{,} lub \ci{quad}
   %%%lub \ci{qquad}
 (por.~punkt~\ref{sec:hspace}, str.~\pageref{quad:def}).
  
\item Puste linie są niedozwolone. Nie ma czegoś takiego, jak
  podział wzorów na akapity.
  
\item Litery we wzorach służą do oznaczania nazw zmiennych;
  zmienne składamy inaczej niż zwykły tekst. Jeżeli
  częścią wzoru ma być zwykły tekst, to należy się 
  posłużyć instrukcją \verb|\textrm{...}|.
\end{enumerate}

\begin{example}
\begin{equation}
\forall x \in \mathbf{R}\colon
\qquad x^{2} \geq 0
\end{equation}
\end{example}

\begin{example}
\begin{equation}
x^{2} \geq 0\qquad
\textrm{dla każdego }x\in\mathbf{R}
\end{equation}
\end{example}
%
%
%
% Add AMSSYB Package ... Blackboard bold .... R for realnumbers
%
\noindent
Matematycy potrafią być niezwykle staranni w~doborze
symboli.  Na przykład we wzorach, w~których
występują oznaczenia zbiorów (jak powyższy), często
stosuje się krój, w~którym te oznaczenia
przypominają odmianę ,,grubą'', pisaną kredą na
tablicy\ifx\mathbb\undefined\else\space ($\mathbb{A,B,C}\dots$)\fi.
Symbole takie wstawiamy do wzoru poleceniem \ci{mathbb} z~pakietu
\pai{amsfonts} lub \pai{amssymb}.
%
\ifx\mathbb\undefined\else
Ostatni przykład wygląda wtedy następująco:
\begin{example}
\begin{displaymath}
x^{2} \geq 0\qquad
\textrm{dla każdego }x\in\mathbb{R}
\end{displaymath}
\end{example}
\fi

\section{Grupowanie}

Argumentem większości instrukcji do składu matematyki jest tylko jeden znak --
ten, który następuje tuż po instrukcji. Jeżeli polecenie ma
dotyczyć grupy znaków, to należy je umieścić wewnątrz
pary nawiasów klamrowych \verb|{...}|:
%
\begin{example}
\begin{equation}
a^x+y \neq a^{x+y}
\end{equation}
\end{example}

\section{Części składowe wyrażeń matematycznych }

W~tym podrozdziale opiszemy ważniejsze instrukcje do składu
wyrażeń. Zestawienie wszystkich dostępnych symboli
i~znaków znajduje się w~punkcie~\ref{symbols} na
stronie~\pageref{symbols}.

\textbf{Małe litery alfabetu greckiego}
wprowadzamy, używając instrukcji typu: \verb|\alpha|,
\verb|\beta|, \verb|\gamma| itd., a \textbf{duże}\footnote{Obecnie brakuje
  dużej litery \emph{Alpha} i~wygląda ona identycznie
  jak pierwsza litera \emph{A} alfabetu łacińskiego. Sytuacja ta
  ma się zmienić po wprowadzeniu nowego sposobu kodowania symboli
  matematycznych.}: \verb|\Delta|, \verb|\Gamma| itd.:

%%<PLext>
% Zwróćmy uwagę na  \emph{nieprzyjemne} odstępstwo
% od lansowanego w~tym opracowaniu formatowania logicznego.
% Kodując \emph{Alfa} jako A, uniemożliwiamy na przykład
% prawidłową pracę programu audio, bo nie będzie on
% w~stanie rozpoznać, czy ma do czynienia z~literą
% łacińską, czy grecką.
%%</PLext>
\begin{example}
$\lambda,\xi,\pi,\mu,\Phi,\Omega$
\end{example}
%
\noindent
\textbf{Indeksy
  górne\index{indeks!górny}} i~\textbf{wykładniki} otrzymujemy
za pomocą znaku \verb|^|\index{^@\verb"+^"+},
a~\textbf{dolne\index{indeks!dolny}} -- stosując
podkreślenie \verb|_|\index{_@\verb"+_"+}:
%
\begin{example}
$a_{1} x^{2} e^{-\alpha t}
a^{3}_{ij} e^{x^2} \neq {e^x}^2$
\end{example}
%
\noindent
\textbf{Pierwiastek kwadratowy\index{pierwiastek kwadratowy}} składamy
poleceniem \ci{sqrt}. Wielkość znaku
pierwiastka jest przez \LaTeX{}a ustalana automatycznie. Zapis samego
znaku pierwiastka umożliwia instrukcja
\ci{surd}\footnote{Taki
    zapis jest wykorzystywany raczej w~literaturze
    anglosaskiej.}, natomiast pierwiastek stopnia~$n$
składamy konstrukcją \verb+\sqrt[+\emph{n}\verb+]+:
%
\begin{example}
$\sqrt{x} \sqrt{ x^{2}+\sqrt{y}}
\sqrt[3]{2} \surd[x^2 + y^2]$
\end{example}
%
\noindent
Polecenia \ci{overline} oraz \ci{underline} umieszczają nad i~pod
wyrażeniami poziome kreski:
%
\begin{example}
$\overline{m+n} \underline{x+y}$
\end{example}
%
\noindent
Instrukcje \ci{overbrace} oraz \ci{underbrace} umieszczają nad i~pod
wyrażeniami poziome klamry:
%
\begin{example}
$\underbrace{ a+b+\cdots+z }_{26}$
\end{example}
%
\noindent
Akcenty matematyczne\index{akcenty!matematyczne}, takie jak daszki czy
tyldy nad zmiennymi, umieszczamy we wzorze poleceniami
z~tabeli~\ref{mathacc}.  Szerokie daszki i~tyldy,
obejmujące wiele symboli, wstawiamy za pomocą instrukcji
\ci{widetilde} oraz \ci{widehat}.  Znakiem
\verb|'|\index{'@\verb"|'"|} oznaczamy
symbol~,,\wi{prim}'':
% a dash is --
%
\begin{example}
\begin{displaymath}
\hat y=x^{2}\quad y'=2x'''
\end{displaymath}
\end{example}
%
\noindent
\textbf{Wektory\index{wektor}} oznacza się niekiedy
akcentem w~postaci strzałki nad~nazwą zmiennej. Służy do
tego polecenie \ci{vec}. Natomiast do oznaczenia wektora od
punktu~$A$ do punktu~$B$ korzystamy z~poleceń \ci{overrightarrow}
oraz~\ci{overleftarrow}:
%
\begin{example}
\begin{displaymath}
\vec a\quad\overrightarrow{AB}
\end{displaymath}
\end{example}
%
\noindent
Nazwy funkcji typu ,,logarytm'' należy składać odmianą
prostą, nie zaś kursywą, zarezerwowaną dla nazw zmiennych.
Oto lista poleceń \LaTeX{}a służących do~składu rozmaitych
funkcji matematycznych:
%
\begin{verbatim}
\arccos \cos \csc \exp \ker \limsup \min \sinh
\arcsin \cosh \deg \gcd \lg \ln \Pr \sup
\arctan \cot \det \hom \lim \log \sec \tan
\arg \coth \dim \inf \liminf \max \sin \tanh
\end{verbatim}
%
\begin{example}
\[\lim_{x \rightarrow 0}
\frac{\sin x}{x}=1\]
\end{example}

%%<PLext>
  W~Polsce nazwy niektórych funkcji trygonometrycznych różnią się od
  anglosaskich. Pakiet \pai{polski} -- po dołączeniu do dokumentu --
  zmienia na życzenie standardowe funkcje {\LaTeX}a na
  zgodne ze zwyczajami polskimi. Oto angielskie
  oryginały: \begingroup\EnglishTrygFunctions $\tan$, $\coth$, $\tanh$,
  $\arccos$, $\arcsin$ \endgroup i~ich polskie odpowiedniki: $\tan$,
  $\ctgh$, $\tanh$, $\arccos$, $\arcsin$.
%%</PLext>

\noindent
Dla funkcji typu modulo\index{modulo} istnieją dwie instrukcje:
\ci{bmod} dla binarnego operatora ,,$a \bmod b$'' oraz \ci{pmod} do
składu takich wyrażeń jak ,,$x\equiv a \pmod{b}$''.
 %%
\begin{example}
$a\bmod b$\\
$x\equiv a \pmod{b}$
\end{example}

\noindent
\textbf{Ułamki piętrowe\index{ułamek!piętrowy}} składa się poleceniem
\ci{frac}\verb|{...}{...}|. Do ułamków zwykłych\index{ułamek!zwykły}
czasami lepiej stosować kreskę ukośną, zwłaszcza w~wypadku niewielkich
porcji materiału ułamkowego, jak ,,$1/2$'':
%
\begin{example}
$1\frac{1}{2}$~godziny
\begin{displaymath}
\frac{ x^{2} }{ k+1 }\quad
x^{ \frac{2}{k+1} }\quad x^{ 1/2 }
\end{displaymath}
\end{example}
%
\noindent
Do składu dwumianów lub podobnych konstrukcji możemy
użyć polecenia \verb|{... |\ci{choose}\verb| ...}| albo
\verb|{... |\ci{atop}\verb| ...}|. Instrukcja \ci{atop} 
daje efekt taki jak \ci{choose}, tyle że bez nawiasów:
%
\begin{example}
\begin{displaymath}
{n \choose k}\qquad {x \atop y+2}
\end{displaymath}
\end{example}
%
W~pakiecie \pai{amsmath} do składu dwumianu Newtona dostępne jest 
polecenie \ci{binom}:
\begin{example}
\begin{displaymath}
\binom{n}{k}\qquad\mathrm{C}_n^k
\end{displaymath}
\end{example}

Do uzyskiwania symboli relacji binarnych może się przydać
instrukcja \ci{stackrel}. Składa ona swój  pierwszy
argument czcionką pomniejszoną, jaka stosowana jest do indeksów, 
i~umieszcza go nad drugim argumentem, złożonym czcionką normalnej
wielkości:
\begin{example}
\begin{displaymath}
\int f_N(x) \stackrel{!}{=} 1
\end{displaymath}
\end{example}

\noindent
\textbf{Znak całki\index{znak!całki}} składamy poleceniem \ci{int},
\textbf{znak sumowania\index{znak!sumowania}\index{operator!sumowania}}
instrukcją~\ci{sum}, zaś 
\textbf{operator iloczynu\index{operator!iloczynu}} 
za pomocą instrukcji \ci{prod}. 
Górne granice całkowania i~sumowania określamy za
pomocą~\verb|^|, a~dolne -- znakiem \verb|_|, 
czyli podobnie jak w~wypadku indeksów
górnych i~dolnych\footnote{\AmS-\LaTeX{} ma dodatkowo 
wielolinijkowe indeksy dolne i~górne.}:
%
\begin{example}
\begin{displaymath}
\sum_{i=1}^{n} \quad
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\qquad
\prod_\epsilon
\end{displaymath}
\end{example}
%
Pakiet \pai{amsmath} zawiera dwa dodatkowe narzędzia do sterowania
położeniem indeksów w~złożonych wyrażeniach: instrukcję
\ci{substack} i~otoczenie \ei{subarray}:
\begin{example}
\begin{displaymath}
\sum_{\substack{0<i<n \\ 1<j<m}}
   P(i,j) =
\sum_{\begin{subarray}{l}
         i\in I\\
         1<j<m
      \end{subarray}}     Q(i,j)
\end{displaymath}
\end{example}

\noindent
Do składu \textbf{nawiasów\index{nawias}} i~innych
\textbf{ograniczników\index{ogranicznik}} typu
$(\;[\;\langle\;\|\;\updownarrow$ mamy rozmaitość symboli. Nawiasy
okrągłe i~kwadratowe wstawiamy bezpośrednio z~klawiatury. Do nawiasów
klamrowych stosujemy \verb+\{+~oraz~\verb+\}+. Wszystkie inne
ograniczniki wstawiamy, używając specjalnych poleceń,
np.~\ci{updownarrow}. Zestawienie dostępnych ograniczników znajduje
się w~tabeli~\ref{tab:delimiters} na stronie~\pageref{tab:delimiters}.
%
\begin{example}
\begin{displaymath}
{a,b,c}\neq\{a,b,c\}
\end{displaymath}
\end{example}
%
\noindent
Poprzedzenie otwierającego ogranicznika poleceniem \ci{left},
a~zamykającego poleceniem \ci{right} powoduje automatyczne
ustalenie jego rozmiaru w~zależności od wielkości zawartego
między nimi wyrażenia.  Uwaga: każde użycie \ci{left}
oraz ogranicznika wymaga nawiasu zamykającego poprzedzonego poleceniem
\ci{right}. Gdy ogranicznik ma się pojawić tylko po jednej
stronie, wówczas po drugiej \emph{należy} użyć konstrukcji z~kropką:
\verb|\left.| po lewej albo \verb|\right.| po prawej:
%
\begin{example}
\begin{displaymath}
1 + \left( \frac{1}{ 1-x^{2} }
\right) ^3
\end{displaymath}
\end{example}
%
\noindent
W pewnych sytuacjach trzeba samemu określić właściwą wielkość
ogranicznika. Do tego celu służą instrukcje \ci{big}, \ci{Big},
\ci{bigg} oraz \ci{Bigg}, poprzedzające odpowiedni
ogranicznik\footnote{Polecenia te nie działają zgodnie z~oczekiwaniami,
  gdy uprzednio zmieniono stopień pisma, na przykład użyto
  opcji \popti{11pt} lub \popti{12pt}. W~takiej sytuacji należy
  skorzystać z~pakietu \pai{exscale} albo pakietu \pai{amsmath}.}:
%
\begin{example}
$\Big( (x+1) (x-1) \Big) ^{2}$\\
$\big(\Big(\bigg(\Bigg($\quad
$\big\}\Big\}\bigg\}\Bigg\}$\quad
$\big\|\Big\|\bigg\|\Bigg\|$
\end{example}
%
\noindent
\textbf{Wielokropek\index{wielokropek}} w~wyrażeniach
matematycznych wprowadzamy poleceniem \ci{ldots}. Kropki pojawiają
się wtedy na linii podstawowej\index{linia podstawowa}, 
to znaczy na jednakowej wysokości
z~przecinkiem czy kropką. Instrukcja \ci{cdots} wstawia natomiast
inny rodzaj wielokropka, w~którym kropki znajdują się w~osi
znaków $+$, $-$, $=$:
%
\begin{example}
\begin{displaymath}
x_{1},\ldots,x_{n} \qquad
x_{1}+\cdots+x_{n}
\end{displaymath}
\end{example}
\noindent
Są~jeszcze instrukcje \ci{vdots} oraz \ci{ddots}. Pierwsza z~nich
generuje wielokropek pionowy, a~druga -- skośny (zobacz przykład
w~punkcie~\ref{sec:vert}).


\section{Odstępy w~trybie matematycznym }

Zdarzają się sytuacje, kiedy wielkość odstępów\index{odstęp!w~trybie
  matematycznym} wewnątrz wyrażeń matematycznych jest niepoprawna. Można
je skorygować odpowiednimi instrukcjami. Do wprowadzania niewielkich
odstępów służy kilka poleceń: \ci{,} wstawia odstęp równy $\frac{3}{18}$
em\footnote{W~programach komputerowych przyjęło się stosowanie jednostki
  \emph{em\/} równej szerokości litery ,,M'' w~bieżącym kroju pisma.
  Por.~też~\cite{nowacki-jm}.} (\demowidth{0.166em}), \ci{:} pozwala
uzyskać odstęp równy $\frac{4}{18}$ em (\demowidth{0.222em}) a~\ci{;} --
odstęp równy $\frac{5}{18}$ em (\demowidth{0.277em}). Użycie instrukcji
\verb*+\ + (spacja po znaku \verb+\+) prowadzi do utworzenia zwykłego
odstępu międzywyrazowego; \ci{quad} -- odstępu równego 1~em
(\demowidth{1em}), a~\ci{qquad} -- dwóm em (\demowidth{2em}).
%Odstęp uzyskany poleceniem \ci{quad} odpowiada
%szerokości litery ,,M'' w~bieżącym kroju pisma.  
Instrukcja
\verb|\!|\cih{"!} wstawia odstęp ,,ujemny'', to znaczy zamiast
zwiększać, zmniejsza odstęp między znakami. Wielkość
tego odstępu wynosi $-\frac{3}{18}$~em (\demowidth{0.166em}):
%
\begin{example}
\newcommand{\ud}{\mathrm{d}}
\begin{displaymath}
\int\!\!\!\int_{D} g(x,y)
\, \ud x\, \ud y
\end{displaymath}
 %
zamiast
\begin{displaymath}
\int\int_{D} g(x,y)\ud x \ud y
\end{displaymath}
\end{example}
%
\noindent
Zwróćmy uwagę, że litera ,,d'' w~symbolu różniczki
jest złożona odmianą prostą
pisma\footnote{W~Polsce do składu litery ,,d'' 
    w~różniczkach stosuje się kursywę 
    matematyczną.}.

Dzięki zdefiniowanym w~pakiecie
\AmS-\LaTeX{}\footnote{Ściślej mówiąc, 
  w~pakiecie \pai{amsmath}.} takim
instrukcjom~jak: \ci{iint}, \ci{iiint}, \ci{iiiint} oraz \ci{idotsint}
powyższy przykład można złożyć dużo prościej:
%
\begin{example}
\newcommand{\ud}{\mathrm{d}}
\begin{displaymath}
\iint_{D} \, \ud x \, \ud y
\end{displaymath}
\end{example}
 %
\noindent
Więcej wiadomości na ten temat znajdziemy 
w~pliku \verb+testmath.tex+,
który jest częścią pakietu {\AmS-\LaTeX} lub w~rozdziale ósmym 
podręcznika~\cite{companion}.
%\emph{The {\LaTeX} Companion}.
%\footnote{\CTAN{info/ch8}.}. % <-- tego już nie ma ** tp **

\section{Wyrównywanie w~pionie\label{sec:vert} }

Do składania macierzy używa się otoczenia \ei{array}.
Działa ono podobnie do wcześniej omówionego otoczenia
\texttt{tabular}.  Używane w~przykładzie polecenie~\verb|\\| oznacza
przejście do nowego wiersza macierzy:
%
\begin{example}
\begin{displaymath}
\mathbf{X} =
\left( \begin{array}{ccc}
x_{11} & x_{12} & \ldots \\
x_{21} & x_{22} & \ldots \\
\vdots & \vdots & \ddots
\end{array} \right)
\end{displaymath}
\end{example}
%
\noindent
Otoczeniem \ei{array} możemy się posłużyć także
do składania wyrażeń zawierających tylko jeden
ogranicznik, po prawej lub po lewej stronie, stosując konstrukcję z~kropką
\verb|\right.| lub \verb+\left.+:
%
\begin{example}
\begin{displaymath}
y = \left\{ \begin{array}{ll}
a & \textrm{jeżeli $d>c$}\\
b+x & \textrm{rano}\\
l & \textrm{w~ciągu dnia}
\end{array} \right.
\end{displaymath}
\end{example}
%
Podobnie jak w~wypadku otoczenia \ei{tabular}, także w~otoczeniu
\ei{array} można wstawiać pionowe i~poziome kreski, np.~oddzielające
poszczególne rubryki macierzy:
\begin{example}
\begin{displaymath}
\left(\begin{array}{c|c}
 1 & 2 \\ \hline
3 & 4
\end{array}\right)
\end{displaymath}
\end{example}
 %
\noindent
Do składu wyrażeń wielowierszowych można użyć -- zamiast otoczenia
\ei{equation} -- otoczeń \ei{eqnarray} lub \ei{eqnarray*}.
W~otoczeniu \ei{eqnarray} każdy wiersz zawartego w~nim wyrażenia
otrzymuje osobny numer; w~otoczeniu \ei{eqnarray*} wiersze nie są
numerowane. Otoczenia \ei{eqnarray} oraz \ei{eqnarray*}
działają jak trójkolumnowa tabela w~układzie \verb|{rcl}|. W~takiej
tabeli w~środkowej kolumnie wstawiamy zwykle znaki równości lub
nierówności. Poleceniem~\verb|\\| łamiemy zawartość otoczenia 
na wiersze:
%
\begin{example}
\begin{eqnarray}
f(x) & = & \cos x \\
f'(x) & = & -\sin x \\
\int_{0}^{x} f(y)dy &
= & \sin x
\end{eqnarray}
\end{example}
%
\noindent
Zwróćmy uwagę, że 
% fatalnie się łamie --tp-
%wstawiony przez {\LaTeX}a 
odstęp po obu stronach
znaku równości jest dość duży. Można go zmniejszyć poleceniem
\verb|\setlength\arraycolsep{2pt}|\index{arraycolsep@\verb+arraycolsep+}, 
które najlepiej jest umieścić w~preambule dokumentu.

{\LaTeX} nie dzieli automatycznie długich wyrażeń, niemieszczących
się w~jednym wierszu.  Musimy to zrobić sami. Najczęściej stosuje się
takie sposoby:
%
\begin{example}
{\setlength\arraycolsep{2pt}
\begin{eqnarray}
\sin x & = & x -\frac{x^{3}}{3!}
+\frac{x^{5}}{5!}-{}
\nonumber\\
& & {}-\frac{x^{7}}{7!}+{}\cdots
\end{eqnarray}}
\end{example}
%\pagebreak[1]

\begin{example}
\begin{eqnarray}
\lefteqn{ \cos x = 1
-\frac{x^{2}}{2!} +{} }
\nonumber\\
& & {}+\frac{x^{4}}{4!}
-\frac{x^{6}}{6!}+{}\cdots
\end{eqnarray}
\end{example}
%
%\enlargethispage{\baselineskip}
%
\noindent
\LaTeX{} nie generuje numeru w~tym wierszu wyrażenia, w~którym
pojawia~się polecenie \ci{nonumber}.

Złożenie w~ten sposób dużych i~skomplikowanych wyrażeń może~się jednak
okazać dość~trudne. Lepiej wtedy użyć pakietu \pai{amsmath}, w~którym
mamy do dyspozycji otoczenia \ei{align}, \ei{flalign}, \ei{gather},
\ei{multline} i~\ei{split}.

\section{Fantomy}

Fantomów nie można zobaczyć, mimo to zajmują one w~naszych umysłach trochę 
miejsca. Nie inaczej jest w~\LaTeX{}u, co pozwala robić z~odstępami
różne sztuczki.

Podczas wyrównywania w~pionie tekstu z~indeksami \verb|^| bądź \verb|_| 
\LaTeX{} bywa nadgorliwy. Polecenie \ci{phantom} pozwala
rezerwować miejsce na znaki, które nie mają się pojawić w~ostatecznym
wydruku. Najłatwiej to zrozumieć, analizując przykład:
\begin{example}
\begin{displaymath}
{}^{12}_{\phantom{1}6}\textrm{C}
\qquad \textrm{versus} \qquad
{}^{12}_{6}\textrm{C}
\end{displaymath}
\end{example}
\begin{example}
\begin{displaymath} 
\Gamma_{ij}^{\phantom{ij}k}
\qquad \textrm{versus} \qquad
\Gamma_{ij}^{k}
\end{displaymath}  
\end{example}

\section{Stopień pisma}

W~trybie matematycznym stopień pisma dobierany jest automatycznie,
zależnie od kontekstu. Indeksy górne {\LaTeX} składa na przykład
mniejszą czcionką. Gdy wewnątrz wyrażenia matematycznego zachodzi
potrzeba złożenia fragmentu normalnego tekstu, a~użyjemy polecenia
\ci{textrm}, to nie zadziała mechanizm przełączania stopni pisma.
Będzie tak, ponieważ polecenie \ci{textrm} powoduje tymczasowe
przejście do trybu tekstowego.

Zamiast \ci{textrm} można użyć polecenia \ci{mathrm}, które zachowuje
mechanizm zmiany stopnia pisma. Pamiętajmy jednak, że działa ono
poprawnie w~zasadzie tylko dla pojedynczych wyrazów, ponieważ znaki
odstępów są ignorowane. Ponadto nie~działa zgodnie z~oczekiwaniami
mechanizm akcentowania\footnote{W~pakiecie {\AmS-\LaTeX}
  polecenie~\ci{textrm} zostało poprawione i~umożliwia automatyczną
  zmianę stopnia pisma zależnie od kontekstu. Pakiet ten nie tylko
  poprawia działanie \ci{textrm}, ale też definiuje instrukcję \ci{text}
  do wstawiania fragmentów ,,normalnego'' tekstu wewnątrz wzorów.}:
%
\begingroup
%% Polecenie \RestoreStandardLaTeX przywraca domyślne działanie
%% polecenia \textrm, patrz. lshort2e.sty:
\RestoreStandardLaTeX
\begin{example}
\begin{equation}
2^{\textrm{nd rd}^\textrm{th}} \quad
2^{\mathrm{nd rd}^\mathrm{th}}
\end{equation}
\end{example}
\endgroup
%
\noindent
Czasami musimy wyraźnie określić stopień pisma, jakim
chcemy się posłużyć.  W~trybie matematycznym
możemy do tego stosować cztery następujące polecenia:
%
\begin{flushleft}
\ci{displaystyle}~($\displaystyle 123$),
\ci{textstyle}~($\textstyle 123$),
\ci{scriptstyle}~($\scriptstyle 123$) oraz
\ci{scriptscriptstyle}~($\scriptscriptstyle 123$).
\end{flushleft}
%
\noindent
Zmiana stylu dotyczy także sposobu składania indeksów
górnych i~dolnych, jak granice sumowania czy
całkowania:
\begin{example}
\begin{displaymath}
\mathop{\mathrm{cov}}(X,Y)=
\frac{\displaystyle
\sum_{i=1}^n(x_i-\overline x)
(y_i-\overline y)}
{\displaystyle\biggl[
\sum_{i=1}^n(x_i-\overline x)^2
\sum_{i=1}^n(y_i-\overline y)^2
\biggr]^{1/2}}
\end{displaymath}
\end{example}
 % This is not a math accent, and no maths book would be set this way.
 % mathop gets the spacing right.
 %
\noindent
Powyższy przykład ilustruje sytuację, w~której należy zastosować
polecenie \ci{biggl} bądź \ci{biggr}, ponieważ nawiasy pochodzące
z~konstrukcji \verb|\left[|~oraz \verb|\right]| byłyby zbyt małe.

\section{Twierdzenia, definicje, itp.\label{sec:newt}}

W~pracach matematycznych występuje potrzeba wyróżniania w~składzie
zapisu lematów, definicji, aksjomatów i~tym podobnych
elementów. Do zdefiniowania nowego typu elementu służy 
%w~\LaTeX{}u 
polecenie:
%
\begin{command}
\ci{newtheorem}\verb|{|\emph{nazwa}\verb|}[|\emph{nazwa'}\verb|]{|%
\emph{tekst}\verb|}[|\emph{punkt}\verb|]|
\end{command}
%
\noindent
Argument \emph{nazwa\/} oznacza nazwę otoczenia, zaś \emph{tekst\/} jest
napisem, który zostanie wydrukowany; może to być ,,Twierdzenie'',
,,Definicja'' itp. Argumenty w~nawiasach kwadratowych są nieobowiązkowe.
Za ich pomocą określamy sposób numerowania twierdzeń. Opcjonalny
argument \emph{nazwa'} to nazwa elementu uprzednio zdefiniowanego
poleceniem \ci{newtheorem}. Jeśli ten argument podano, to otoczenia
\mbox{\emph{nazwa}} oraz \emph{nazwa'} będą posiadały wspólną numerację.
Argument \emph{punkt} określa sposób numerowania twierdzeń: jeżeli
umieścimy tam na przykład \texttt{chapter}, to elementy będą numerowane
w~obrębie rozdziałów. Domyślnie otoczenia definiowane za pomocą
\ci{newtheorem} są numerowane w~sposób ciągły w~obrębie całego
dokumentu.

Po umieszczeniu instrukcji 
\verb+\newtheorem{+\emph{nazwa}\verb+}...+%
\cih{newtheorem} w~preambule można otoczenie
\emph{nazwa} stosować w~następujący sposób:
%
\begin{code}
\verb|\begin{|\emph{nazwa}\verb|}[|\emph{tekst}\verb|]|\\
Oto moje interesujące twierdzenie\\
\verb|\end{|\emph{nazwa}\verb|}|
\end{code}
 %
\noindent
Instrukcja \ci{newtheoremstyle}\verb|{|\emph{style}\verb|}| z~pakietu
\pai{amsthm} pozwala określić sposób formatowania twierdzenia przez
wybór spośród trzech predefiniowanych stylów: 
\texttt{definition} (wytłuszczony tytuł, treść złożona pismem prostym), 
\texttt{plain} (wytłuszczony tytuł, treść zapisana kursywą) oraz 
\texttt{remark} (tytuł zapisany kursywą, treść -- pismem prostym).

Tyle teoria. Poniższe przykłady usuną, miejmy nadzieję,
wszelkie wątpliwości i~jednocześnie uświadomią, 
że działanie otoczenia \ci{newtheorem} niełatwo zrozumieć:
%
\begin{example}
% definicje w~preambule
\newtheorem{twr}{Twierdzenie}
\newtheorem{lem}[twr]{Lemat}
% po \begin{document}
\begin{lem} Pierszy
lemat\dots\label{lem:1} \end{lem}
\begin{twr}[Dyzma]
Przyjmując w~lemacie~\ref{lem:1},
że $\epsilon=0$\dots \end{twr}
\begin{lem}Trzeci lemat\end{lem}
\end{example}
%
\noindent
Elementy Twierdzenie i~Lemat używają tego samego licznika. Argument
nieobowiązkowy (wewnątrz nawiasów kwadratowych) służy do
umieszczenia komentarza, w~postaci nazwiska twórcy itp.
%
\begin{example}
\newtheorem{mur}{Murphy}[section]
\begin{mur} Jeżeli coś można 
wykonać na dwa lub więcej sposobów, 
przy czym jeden z~nich prowadzi do 
katastrofy, to sposób ten zostanie 
przez kogoś wybrany.\end{mur}
\end{example}
%
\noindent
Numeracja twierdzenia ,,Murphy'ego'' jest tu powiązana z~numeracją
kolejnych punktów. Można też do numerowania twierdzeń stosować inne
jednostki podziału dokumentu, jak rozdziały czy podpunkty.

W~pakiecie \pai{amsthm} znajduje się też otoczenie \ei{proof} 
do zapisywania dowodów:
 %
\begin{example}
\begin{proof}
Banalne. Użyj \[E=mc^2\]
\end{proof}
\end{example}
 %
\noindent
Polecenie \ci{qedhere} pozwala wstawić 
symbol ,,końca dowodu''\index{symbol!końca dowodu} 
w~określonym miejscu zamiast 
domyślnego umieszczania go w~oddzielnym wierszu:
 %
\begin{example}
\begin{proof}
Banalne. Użyj \[E=mc^2 \qedhere\]
\end{proof}
\end{example}

\section{Symbole półgrube }

Wstawianie symboli półgrubych jest w~{\LaTeX}u zadaniem dość trudnym.
Być może jest tak celowo, ponieważ składacze{\dywiz}amatorzy mają skłonność
do ich nadużywania. Poleceniem \ci{mathbf} uzyskamy odmianę
półgrubą. Nie będzie to niestety półgruba kursywa, jaką zwykle
składane są symbole matematyczne.  Istnieje co prawda polecenie
\ci{boldmath}, ale można go użyć jedynie \emph{poza trybem
  matematycznym}. Jego działanie obejmuje również symbole.
%
\begin{example}
\begin{displaymath}
\mu, M \qquad \mathbf{M} \qquad
\mbox{\boldmath $\mu, M$}
\end{displaymath}
\end{example}
%
\noindent
Zauważmy, że przecinek też został złożony w~odmianie półgrubej, co
z~reguły jest niepożądanym efektem.

Pakiet \pai{amsbsy}, dołączany przez \pai{amsmath}, czyni zadanie dużo
łatwiejszym. W~pakiecie tym dostępne są polecenia \ci{boldsymbol} oraz
\ci{pmb}. Instrukcja \texttt{pmb} imituje znak półgruby przez
wydrukowanie dwóch nakładających się na siebie znaków, złożonych
w~odmianie normalnej. Można tym sposobem uzyskać symbole półgrube nawet
wtedy, gdy w~systemie brak odpowiednich fontów.

\ifx\boldsymbol\undefined\else
\begin{example}
\begin{displaymath} \mu, M \quad
\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{M}\quad
\pmb{\mu}, \pmb{M} \end{displaymath}
\end{example}
\fi

\input {lssym}


\endinput

%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "lshort2e"
%%% coding: latin-2
%%% case-fold-search: nil
%%% LocalWords: absolutne wielolinijkowe Dyzma Murphy
%%% LocalWords: American Mathematical Society
%%% ispell-local-dictionary: "polish"
%%% End:

